jaringan perpustakaan

Konsep dan Perencanaan dalam Automasi Perpustakaan
Makalah Seminar dan Workshop Sehari “ Membangun Jaringan Perpustakaan Digital dan Otomasi Perpustakaan menuju Masyarakat Berbasis Pengetahuan “ UMM 4 Oktober 2003

Pendahuluan
Penerapan Teknologi Informasi (TI) saat ini telah menyebar hampir di semua bidang tidak terkecuali di perpustakaan. Perpustakaan sebagai institusi pengelola informasi merupakan salah satu bidang penerapan teknologi informasi yang berkembang dengan pesat. Perkembangan dari penerapan teknologi informasi bisa kita lihat dari perkembangan jenis perpustakaan yang selalu berkaitan dengan dengan teknologi informasi, diawali dari perpustakaan manual, perpustakaan terautomasi, perpustakaan digital atau cyber library. Ukuran perkembangan jenis perpustakaan banyak diukur dari penerapan teknologi informasi yang digunakan dan bukan dari skala ukuran lain seperti besar gedung yang digunakan, jumlah koleksi yang tersedia maupun jumlah penggunanya. Kebutuhan akan TI sangat berhubungan dengan peran dari perpustakaan sebagai kekuatan dalam pelestarian dan penyebaran informasi ilmu pengetahuan dan kebudayaan yang berkembang seiring dengan menulis, mencetak, mendidik dan kebutuhan manusia akan informasi. Perpustakaan membagi rata informasi dengan cara mengidentifikasi, mengumpulkan, mengelola dan menyediakanya untuk umum.
Penerapan teknologi informasi di perpustakaan dapat difungsikan dalam berbagai bentuk, antara lain:
1. Penerapan teknologi informasi digunakan sebagai Sistem Informasi Manajemen Perpustakaan. Bidang pekerjaan yang dapat diintegrasikan dengan sistem informasi perpustakaan adalah pengadaan, inventarisasi, katalogisasi, sirkulasi bahan pustaka, pengelolaan anggota, statistik dan lain sebagainya. Fungsi ini sering diistilahkan sebagai bentuk Automasi Perpustakaan.
2. Penerapan teknologi informasi sebagai sarana untuk menyimpan, mendapatkan dan menyebarluaskan informasi ilmu pengetahuan dalam format digital. Bentuk penerapan TI dalam perpustakaan ini sering dikenal dengan Perpustakaan Digital.
Kedua fungsi penerapan teknologi informasi ini dapat terpisah maupun terintegrasi dalam suatu sistem informasi tergantung dari kemampuan software yang digunakan, sumber daya manusia dan infrastruktur peralatan teknologi informasi yang mendukung keduanya. Dalam makalah ini selanjutnya akan membahas tentang automasi perpustakaan.

Faktor Penggerak
• Kemudahan mendapatkan produk TI
• Harga semakin terjangkau untuk memperoleh produk TI
• Kemampuan dari teknologi informasi
• Tuntutan layanan masyarakat serba “klick”

Alasan lain
• Mengefisiensikan dan mempermudah pekerjaan dalam perpustakaan
• Memberikan layanan yang lebih baik kepada pengguna perpustakaan
• Meningkatkan citra perpustakaan
• Pengembangan infrastruktur nasional, regional dan global.

Peranan Katalog dalam Automasi Perpustakaan
Katalog adalah keterangan singkat atau wakil dari suatu dokumen. Katalog perpustakaan elektronik adalah jantung dari sebuah sistem perpustakaan yang terautomasi. Sub sistem lain seperti OPAC dan sirkulasi berinteraksi dengannya dalam menyediakan layanan automasi. Sebuah sistem katalog yang dirancang dengan baik merupakan faktor kunci keberhasilan penerapan automasi perpustakaan.



Cakupan dari Automasi Perpustakaan
• Pengadaan koleksi
• Katalogisasi, inventarisasi
• Sirkulasi, reserve, inter-library loan
• Pengelolaan penerbitan berkala
• Penyediaan katalog (OPAC)
• Pengelolaan anggota

Bagaimana mengenai Layanan Referens ?
Layanan referens tidak termasuk dalam bagian yang terintegrasi dari suatu sistem automasi perpustakaan, namun yang lebih penting adalah penyediaan teknologi informasi yang digunakan dalam layanan referens. Layanan informasi referens dikembangkan dengan menyediakan koleksi dalam bentuk digital yang dikemas dalam CD-ROM dan akses informasi ke jaringan luar (LAN, WAN, Internet)

Peran CD-ROM
• Mempercepat akses informasi multi media baik itu berupa abstrak, indeks, bahan full text, dalam bentuk digital tanpa mengadakan hubungan ke jaringan komputer.
• Media back-up / cadangan data perpustakaan dan sarana koleksi referens bagi perpustakaan lain.

Peran Internet
• Untuk mengakses infrormasi multimedia dalam resource internet.
• Sarana telekomunikasi dan distribusi informasi.
• Untuk membuat homepage, penyebarluasan katalog dan informasi.

Keperluan Pengguna
Pustakawan harus dapat melayani keperluan pengguna seperti permintaan akan akses yang lebih cepat ke informasi yang diperlukan dari dalam maupun luar perpustakaan. Dengan begitu diharapkan agar para pustakawan mahir dalam penggunaan teknologi informasi sehingga mereka dapat membantu pengguna perpustakaan dalam menemukan informasi yang diperlukan.
Apa yang harus diketahui dan dikerjakan oleh pustakawan dalam mengautomasikan perpustakaannya :
• Faham akan maksud dan ruang lingkup dan unsur dari AP
• Faham dan bisa mengapresiasi pentingnya melaksanakan analisis sistem yang menyeluruh sebelum merencanakan desain sistem
• Faham akan dan bisa mengapresiasi manfaat analisis sistem dan desain, implementasi, evaluasi dan maintenance.
• Faham akan proses evaluasi software sejalan dengan proposal sebelum menentukan sebuah sistem
• Faham akan dan bisa mengapresiasi pentingnya pelatihan untuk staf dan keterlibatan mereka dalam seluruh proses kerja

Unsu-unsur Automasi Perpustakaan
Dalam sebuah sistem automasi perpustakaan terdapat beberapa unsur atau syarat yang saling mendukung dan terkait satu dengan lainnya, unsur-unsur atau syarat tersebut adalah :

1. Pengguna (users)
Pengguna merupakan unsur utama dalam sebuah sistem automasi perpustakan. Dalam pembangunan sistem perpustakaan hendaknya selalu dikembangkan melalui konsultasi dengan pengguna-penggunanya yang meliputi pustakawan, staf yang nantinya sebagai operator atau teknisi serta para anggota perpustakaan. Apa misi organisasi tersebut? Apa kebutuhan informasi mereka ? Seberapa melek komputerkah mereka? Bagaimana sikap mereka ? Apakah pelatihan dibutuhkan? Itu adalah beberapa pertanyaan yang harus dijawab dalam mengembangkan sebuah sistem automasi perpustakaan. Automasi Perpustakaan baru bisa dikatakan baik bila memenuhi kebutuhan pengguna baik staf maupun anggota perpustakaan. Tujuan daripada sistem automasi perpustakaan adalah untuk memberikan manfaat kepada pengguna.
Konsultasikan dengan pengguna untuk menentukan kebutuhan-kebutuhan mereka. Namun perlu hati-hati terhadap penilaian keliru yang dilakukan oleh pengguna mengenai kebutuhan dan persepsi tentang apa yang bisa dan tidak bisa dilakukan oleh suatu sistem komputer . Kebutuhan dapat dirincikan terlalu banyak atau terlalu sedikit dan kadang-kadang persepsi bisa juga keliru.
Staf yang bersangkutan harus dilibatkan mulai dari tahap perencanaan dan pelaksanaan sistem. Masukan dari masing-masing staf harus dikumpulkan untuk menjamin kerjasama mereka. Tenaga-tenaga inti yang dilatih untuk menjadi operator, teknisi dan adminsitrator sistem harus diidentifikasikan dan dilatih sesuai bidang yang akan dioperasikan.

2. Perangkat Keras (Hardware)
Komputer adalah sebuah mesin yang dapat menerima dan mengolah data menjadi informasi secara cepat dan tepat. Pendapat lain mengatakan bahwa komputer hanya sebuah komponen fisik dari sebuah sistem komputer yang memerlukan program untuk menjalankannya.
Dari beberapa pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa komputer adalah sebuah alat dimana kemampuanya sangat tergantung pada manusia yang mengoperasikan dan software yang digunakan.
Kecenderungan perkembangan komputer :
• Ukuran fisik mengecil dengan kemampuan yang lebih besar
• Harga terjangkau (murah)
• Kemampuan penyimpanan data berkapasitas tinggi
• Transfer pengiriman data yang lebih cepat dengan adanya jaringan

Dalam memilih perangkat keras yang pertama adalah menentukan staf yang bertanggung jawab atas pemilihan dan evaluasi hardware sebelum transaksi pembelian. Adanya staf yang bertanggung jawab adalah untuk mengurangi ketergantungan terhadap pihak lain dan menghindari dampak buruk yang mungkin timbul. Hal lain adalah adanya dukungan teknis serta garansi produk dari vendor penyedia komputer.
3. Perangkat Lunak (Software)
Perangkat lunak diartikan sebagai metode atau prosedur untuk mengoperasikan komputer agar sesuai dengan permintaan pemakai. Kecenderungan dari perangkat lunak sekarang mampu diaplikasikan dalam berbagai sistem operasi, mampu menjalankan lebih dari satu program dalam waktu bersamaan (multi-tasking), kemampuan mengelola data yang lebih handal, dapat dioperasikan secara bersama-sama (multi-user).
Untuk mendapatkan software kini sudah banyak tersedia baik dari luar maupun dalam negeri dengan berbagai keunggulan yang ditawarkan dan harga yang bervariasi. Di perpustakaan software yang dikenal antara lain CDS/ISIS, WINISIS yang mudah didapat dan gratis freeware dari Unesco atau dari beberapa perguruan tinggi sekarang telah banyak membuat dan mengembangakan sistem perpustakaannya sendiri seperti SIPUS 2000 di UGM, Sipisis di IPB. Masih banyak lagi perguruan tinggi dan institusi pengembang software yang mengembangkan SIP dengan kemampuan yang tidak kalah sip. Sistem Informasi Perpustakaan ini difungsikan untuk pekerjaan operasional perpustakaan, mulai dari pengadaan, katalogisasi, inventarisasi, keanggotaan, OPAC, pengelolaan terbitan berkala, sirkulasi, dan pekerjaan lain dalam lingkup operasi perpustakaan.

Kriteria Penilaian Software
Suatu software dikembangkan melalui suatu pengamatan dari suatu sistem kerja yang berjalan, untuk menilia suatu software tentu saja banyak kriteria yang harus diperhatikan. Beberapa criteria untuk menilia software adalah sebagai berikut :
• Kegunaan : fasilitas dan laporan yang ada sesuai dengan kebutuhan dan menghasilkan informasi tepat pada waktu (realtime) dan relevan untuk proses pengambilan keputusan.
• Ekonomis : biaya yang dikeluarkan sebanding untuk mengaplikasikan software sesuai dengan hasil yang didapatkan.
• Keandalan : mampu menangani operasi pekerjaan dengan frekuensi besar dan terus-menerus.
• Kapasitas : mampu menyimpan data dengan jumlah besar dengan kemampuan temu kembali yang cepat.
• Sederhana : menu-menu yang disediakan dapat dijalankan dengan mudah dan interaktif dengan pengguna
• Fleksibel : dapat diaplikasikan di beberapa jenis sistem operasi dan institusi serta maupun memiliki potensi untuk dikembangkan lebih lanjut.

Menentukan Software
• Membangun sendiri
• Mengontrakan keluar
• Membeli software jadi yang ada di pasaran
Pilihan apapun yang dijatuhkan, software harus
• Sesuai dengan keperluan
• Memiliki ijin pemakaian
• Ada dukungan teknis, pelatihan , dokumentasi yang relevan serta pemeliharaan.
• Menentukan staf yang bertanggungjawab atas pemilihan dan evaluasi software.
Memilih dan membeli perangkat lunak merupakan suatu proses tersedianya dukungan pemakai, karena diperlukan banyak pelatihan dan pemecahan masalah sebelum sistem tersebut dapat berjalan dengan baik. Salah satu cara untuk memastikan dukungan pelanggan adalah memilih perangkat lunak yang digunakan oleh sejumlah perpustakaan. Sekelompok besar pengguna biasanya menjustifikasikan layanan dukungan pelanggan sebagai hal yang subtansial. Selain itu, pengguna dapat saling membantu dalam pemecahan masalah.
Spesifikasi perangkat keras harus memenuhi kebutuhan-kebutuhan minimum operasi perangkat lunak.

4. Network / Jaringan
Jaringan komputer telah menjadi bagian dari automasi perpustakaan karena perkembangan yang terjadi di dalam teknologi informasi sendiri serta adanya kebutuhan akan pemanfaatan sumber daya bersama melalui teknologi.
Komponen perangkat keras jaringan antara lain : komputer sebagai server dan klien, Network Interface Card ( LAN Card terminal kabel (Hub), jaringan telepon atau radio, modem.
Hal yang harus diperhatikan dalam membangun jaringan komputer adalah :
• Jumlah komputer serta lingkup dari jaringan (LAN, WAN)
• Lokasi dari hardware : komputer, kabel, panel distribusi, dan sejenisnya
• Protokol komunikasi yang digunakan
• Menentukan staf yang bertanggun jawab dalam pembangunan jaringan.

5. Data
Data merupakan bahan baku informasi, dapat didefinisikan sebagai kelompok teratur simbol-simbol yang mewakili kuantitas, fakta, tindakan, benda, dan sebagainya. Data terbentuk dari karakter, dapat berupa alfabet, angka, maupun simbol khusus seperti *, $ dan /. Data disusun mulai dari bits, bytes, fields, records, file dan database.
Sistem informasi menerima masukan data dan instruksi, mengolah data tersebut sesuai instruksi, dan mengeluarkan hasilnya. Fungsi pengolahan informasi sering membutuhkan data yang telah dikumpulkan dan diolah dalam periode waktu sebelumnya, karena itu ditambahkan sebuah penyimpanan data file (data file storage) ke dalam model sistem informasi; dengan begitu, kegiatan pengolahan tersedia baik bagi data baru maupun data yang telah dikumpulkan dan disimpan sebelumnya.
Gambar 1. Model dasar sistem informasi

Data Pengolahan Informasi
Gambar 2. Model Pengembangan Sistem Informasi

Penyimpanan


Masukan Pengolahan Keluaran
Standar basis data katalog
Kerjasama antar perpustakaan secara elektronik telah berkembang seiring dengan perkembangan teknologi yang telah memungkinkan untuk itu dan didasari adanya kebutuhan untuk menggunakan sumber daya bersama. Bentuk tukar-menukar maupun penggabungan data katalog koleksi adalah suatu hal yang sudah biasa terjadi dalam perpustakaan, kerjasama dapat dilakukan jika masing-masing perpustakaan itu memiliki kesamaan dalam format penulisan data katalog data. Persoalan yang sering dihadapi dalam kerjasama tukar-menukar atau penggabungan data adalah banyaknya data yang ditulis dengan suka-suka yaitu tidak memperhatikan standar yang ada. Pekerjaan konversi data merupakan hal yang membosankan dan memakan banyak waktu. Sering data katalog dalam perpustakaan tidak menggunakan standar, hal ini banyak terjadi karena kurangnya pemahaman akan manfaat standar penulisan data. Pertemuan-pertemuan mungkin perlu sering diadakan diantara anggota-anggota jaringan perpustakaan untuk menentukan standar-standar dan prosedur-prosedur yang digunakan bersama.
Persoalan lain dalam standardisasi format penulisan data katalog adalah bahasa. Kebanyakan perpustakaan mengkoleksi materi yang menggunakan bahasa pengantar berbeda-beda. Bagaimana dengan bahasa pengantar cantuman katalog itu sendiri? Informasi judul jelas harus diisi sesuai dengan judul koleksi yang bersangkutan. Bagaimana dengan kolom subjek dan kata kunci? Haruskah diisi dengan bahasa nasional (Bahasa Indonesia untuk perpustakaan di Indonesia) atau dengan bahasa internasional (Bahasa Inggris)? Lebih jauh lagi, bagaimana kita memberi nama pada kolom-kolom isian, dengan Bahasa Indonesia (judul, pengarang, penerbit, dsb.) atau bahasa Inggris (title, author, publisher etc.)? Bagaimana dengan koleksi yang berpengantar bahasa-bahasa lain seperti Arab, China atau Korea ?

Metadata
Metada merupakan istilah baru dan bukan merupakan konsep baru di dunia pengelola informasi. Perpustakaan sudah lama menciptakan metada dalam bentuk pengkatalokan koleksi .
Definisi metadata sangat beragam ada yang mengatakan “data tentang data” atau “informasi tentang informasi”, pengertian dari beberapa definisi tersebut bahwa metadata adalah sebagai bentuk pengindentifikasian, penjelasan suatu data, atau diartikan sebagai struktur dari sebuah data. Dicontohkan metadata dari katalog buku terdiri dari : judul, pengarang, penerbit, subyek dan sebagainya. Metada yang biasa digunakan di perpustakaan adalah Marc dan Dublin Core.

INDOMARC
Machine Readable Cataloging (MARC) merupakan salah satu hasil dan juga sekaligus salah satu syarat penulisan katalog koleksi bahan pustaka perpustakaan. Standar metadata katalog perpustakaan ini dikembangkan pertama kali oleh Library of Congress, format LC MARC ternyata sangat besar manfaatnya bagi penyebaran data katalogisasi bahan pustaka ke berbagai perpustakaan di Amerika Serikat. Keberhasilan ini membuat negara lain turut mengembangkan format MARC sejenis bagi kepentingan nasionalnya masing-masing.
Format INDOMARC merupakan implementasi dari International Standard Organization (ISO) Format ISO 2719 untuk Indonesia, sebuah format untuk tukar-menukar informasi bibliografi melalui format digital atau media yang terbacakan mesin (machine-readable) lainnya. Informasi bibliografi biasanya mencakup pengarang, judul, subyek, catatan, data penerbitan dan deskripsi fisik.
Indomarc menguraikan format cantuman bibliografi yang sangat lengkap terdiri dari 700 elemen dan dapat mendeskripsikan dengan baik kebanyakan objek fisik sumber pengetahuan, seperti jenis monograf (BK), manuskrip (AM), dan terbitan berseri (SE) termasuk; Buku Pamflet, Lembar tercetak, Atlas, Skripsi, tesis dan disertasi (baik diterbitkan ataupun tidak), dan Jurnal Buku Langka.

Dublin Core
Dublin Core merupakan salah satu skema metadata yang digunakan untuk web resource description and discovery. Gagasan membuat standar baru agaknya dipengaruhi oleh rasa kurang puas dengan standar MARC yang dianggap terlalu banyak unsurnya dan beberapa istilah yang hanya dimengerti oleh pustakawan serta kurang bisa digunakan untuk sumber informasi dalam web. Elemen Dublin Core dan MARC intinya bisa saling dikonversi.
Metadata Dublin Core memiliki beberapa kekhususan sebagai berikut:
a. Memiliki deskripsi yang sangat sederhana
b. Semantik atau arti kata yang mudah dikenali secara umum.
c. Expandable memiliki potensi untuk dikembangkan lebih lanjut.

Dublin Core terdiri dari 15 unsur yaitu :
1. Title : judul dari sumber informasi
2. Creator : pencipta sumber informasi
3. Subject : pokok bahasan sumber informasi, biasanya dinyatakan dalam bentuk kata kunci atau nomor klasifikasi
4. Description : keterangan suatu isi dari sumber informasi, misalnya berupa abstrak, daftar isi atau uraian
5. Publisher : orang atau badan yang mempublikasikan sumber informasi
6. Contributor : orang atau badan yang ikut menciptakan sumber informasi
7. Date : tanggal penciptaan sumber informasi
8. Type : jenis sumber informasi, nover, laporan, peta dan sebagainya
9. Format : bentuk fisik sumber informasi, format, ukuran, durasi, sumber informasi
10. Identifier : nomor atau serangkaian angka dan huruf yang mengidentifikasian sumber informasi. Contoh URL, alamat situs
11. Source : rujukan ke sumber asal suatu sumber informasi
12. Language : bahasa yang intelektual yang digunakan sumber informasi
13. Relation : hubungan antara satu sumber informasi dengan sumber informasi lainnya.
14. Coverage : cakupan isi ditinjau dari segi geografis atau periode waktu
15. Rights : pemilik hak cipta sumber informasi

6. Manual
Manual atau biasa disebut prosedur adalah penjelasan bagaimana memasang, menyesuaikan, menjalankan suatu perangkat keras atau perangkat lunak. Prosedur merupakan aturan-aturan yang harus diikuti bilamana menggunakan perangkat keras dan perangkat lunak. Banyak peripheral perangkat keras maupun sistem tidak berjalan dengan optimal karena dokumentasi yang tidak memadai atau pengguna tidak mengerti manual yang disediakan. Manual harus dibaca dan dimengerti walau serumit apapun. Manual adalah kunci bagi kelancaran sistem.
Manual / prosedur dapat juga mencakup kebijakan-kebijakan khususnya dalam lingkungan jaringan dimana pemasukan dan pengeluaran data membutuhkan format komunikasi bersama. Pertemuan-pertemuan mungkin perlu sering diadakan diantara anggota-anggota jaringan untuk menentukan standar-standar dan prosedur-prosedur.



Tahapan Membangun Sistem AP



Tahap Hasil
Persiapan • Definisi masalah
• Maksud dan tujuan
• Kerangka kerja
• Perkiraan waktu dan biaya
Survei • Analisa kond. sumber daya
• Analisa kebutuhan
• Analisa sistem berjalan
Disain • Menyusun logika kerja sistem
• Disain data, table, database, relasi.
• Disain input, proses dan output
• Spes. peralatan yang diperlukan
Pembangunan • Pembuatan program aplikasi.
• Instalasi software, jaringan klien server
• Dokumentasi
Uji coba • Tes sistem keseluruhan
• Evaluasi, perbaikan
Training • Training : staf,operator, teknisi, administrator
• Sosialisasi
Operasional • Sistem siap digunakan.
• Bantuan teknis
• Pengembangan lebih lanjut



Kesimpulan
Unsur dan syarat automasi perpustakaan ada banyak. Biasanya, pustakawan berharap terlalu banyak dari sistem ini dan oleh karenannya merasa kecewa bilamana sistem tersebut tidak bekerja seperti yang diharapkan. Untuk memastikan adanya keberhasilan dalam automasi perpustakaan dibutuhkan kerjasama yang optimal dan berkelanjutan diantara pengguna sehingga tercipta kepuasan diantara pengguna, suatu penilain mendalam mengenai kebutuhan-kebutuhan pengguna harus dilakukan sebelum rencana detail untuk automasi dilakukan. Perlu tersedianya staf (pustakawan, operator, teknisi/administrator) yang terlatih. Seluruh anggota staf harus mengerti tentang sistem automasi perpustakaan.

Daftar Pustaka
1. Materi TOT Technologi Information & Communication oleh Unesco dan Pusnas RI di Yogyakarta 1999
2. Konsep, Desain dan Implementasi Perpustakaan Elektronik : Integrasi Perpustakaan Terotomasi dan Perpustakaan Digital Untuk Perpustakaan Nasional di Indonesia Oleh: Ismail Fahmi
3. Model Implementasi Protokol OAI dalam IndonesiaDLN dan Hubungannya dengan Digital Library di Luar Negeri oleh Rurie Muharto

----------------------------------------------------
Ikhwan Arif
iwan@lib.ugm.ac.id
Koordinator TI Perpustakaan UGM
----------------------------------------------------

teori bahasa otomata

TEORI BAHASA DAN OTOMATA

MATERI KULIAH :

Topik Substansi
1 Kontrakpembelajaran, Pendahuluan a. Ketentuan dalam Kuliah
b. Pengertian Bahasa
c. Pengertian Otomata
2 Pengertian Dasar dan Operasi pada string
a. Pngertian Dasar Simbol dll
b. Operasi dasar string
3 Grammar dan Bahasa
a. Definisi Grammar
b. Klasifikasi Grammar/bahasa
c. Penentuan bahasa dari suatu grammar
d. Penentuan grammar dari suatu bahasa

4,5 Mesin Pengenal Bahasa
(OTOMATA) a. Macam-macam mesin pengenal bahasa
b. Finite State Automata
c. Ekuivalensi NFA-DFA
6 Ekspresi Reguler.
a. Pengertian ER
b. Menentukan ER dari suatu bahasa reguler
c. Membuat NFA dari ER
7 Ujian sisipan
8,9 Bahasa Bebas Konteks a. Penyederhanaan tata bahasa bebas konteks
b. Bentuk Normal Chomsky
10,11 PushDown Automata (PDA)
a. Pengertian PDA
b. PDA deterministik/non deterministik.
12 Mesin Turing a. Pengertian Mesin Turing
b. Penerimaan pada MT
13-15 Topik Khusus
Topik-topik khusus/ masalah2 yang lebih kompleks dari teori bahasa dan otomata.
16 Ujian Akhir




Buku :

• Teori Bahasa dan Otomata, John E. Hopcroft dkk. (terjemahan, Edisi 2, 2007)
• Teori Bahasa dan Otomata, Firrar Utdirartatmo
• Introduction to Languages and The Theory of Computation, John C. Martin
• An Introduction to Formal Language and Automata, Peter Linz

Teori Bahasa
• Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor).
• Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama.
• Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda.
• Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya.
• Bahasa Natural/manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.

 
Otomata (Automata)
• Otomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.


Beberapa Pengertian Dasar :

• Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.
• String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.
• Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai w dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka w= 4.
• String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol  (atau ^) sehingga = 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.
• Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol
Operasi Dasar String
Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123
• Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, a, dan  adalah semua Prefix(x)
• ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, a, dan  adalah semua ProperPrefix(x)
• Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : abc, bc, c, dan  adalah semua Postfix(x)
• ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc, c, dan  adalah semua ProperPostfix(x)
• Head string w adalah simbol paling depan dari string w.
Contoh : a adalah Head(x)

• Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc adalah Tail(x)
• Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan  adalah semua Substring(x)
• ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, a, b, c, dan  adalah semua Substring(x)
• Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan  adalah semua Subsequence(x)
• ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan  adalah semua Subsequence(x)
• Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.
Contoh : concate(xy) = xy = abc123
• Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau .
Contoh : alternate(xy) = xy = abc atau 123
• Kleene Closure : x* = xxxxxx… = xx x …
• Positive Closure : x = xxxxxx… = xx x …
Beberapa Sifat Operasi
• Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)
• Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)
• Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x)  Postfix(x)
• Selalu berlaku : ProperPrefix(x)  ProperPostfix(x)
• Selalu berlaku : Head(x)  Tail(x)
• Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya
• Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya
• Dua sifat aljabar concatenation :
• Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
• Elemen identitas operasi concatenation adalah  : x = x = x
• Tiga sifat aljabar alternation :
• Operasi alternation bersifat komutatif : xy = yx
• Operasi alternation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
• Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : xx = x
• Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (yz) = xyxz
• Beberapa kesamaan :
• Kesamaan ke-1 : (x*)* = x*
• Kesamaan ke-2 : x = x  = x*
• Kesamaan ke-3 : (xy)* = xyxxyyxyyx… = semua string yang merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

GRAMMAR DAN BAHASA

Konsep Dasar

• Anggota alfabet dinamakan simbol terminal.

• Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.

• Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

• Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :
 huruf kecil, misalnya : a, b, c, 0, 1, ..
 simbol operator, misalnya : +, , dan 
 simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;
 string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.

• Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal /Variabel :
 huruf besar, misalnya : A, B, C
 huruf S sebagai simbol awal
 string yang tercetak miring, misalnya : expr

• Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : , , dan .

• Sebuah produksi dilambangkan sebagai   , artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol  dengan simbol .

• Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai :   .

• Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.

• Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu..
Grammar :

Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : V , V , S, dan P, dan dituliskan sebagai G(V , V , S, P), dimana :

V : himpunan simbol-simbol terminal (alfabet) kamus
V : himpunan simbol-simbol non terminal
SV : simbol awal (atau simbol start)
P : himpunan produksi

Contoh :

1. G1 : VT = {I, Love, Miss, You}, V = {S,A,B,C},
P = {S  ABC, A I, B Love | Miss, C You}

S  ABC
 IloveYou

L(G1)={IloveYou, IMissYou}

2. . G2 : VT = {a}, V = {S}, P = {S  aSa}

S  aS
 aaS
 aaa L(G2) ={an  n ≥ 1}

L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,…}

 
Klasifikasi Chomsky

Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (  ), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :

1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)
Ciri : ,   (V V )*, > 0
2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)
Ciri : ,   (V V ) *, 0 <    3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG) Ciri :   V ,   (V V )* 4. Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG) Ciri :   V ,   {V , V V } atau   V ,   {V , V V } Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut : A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar. Contoh Analisa Penentuan Type Grammar 1. Grammar G dengan P = {S  aB, B  bB, B  b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string V V maka G adalah RG(3). 2. Grammar G dengan P = {S  Ba, B  Bb, B  b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string V V maka G adalah RG(3). 3. Grammar G dengan P = {S  Ba, B  bB, B  b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string V V (yaitu bB) dan juga string V V (Ba) maka G bukan RG, dengan kata lain G adalah CFG(2). 4. Grammar G dengan P = {S  aAb, B  aB}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G bukan RG, dengan kata lain G adalah CFG. 5. Grammar G dengan P = {S  aA, S  aB, aAb  aBCb}. Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G adalah CSG. 6. Grammar G dengan P = {aS  ab, SAc  bc}. Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G adalah UG. Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut : 1. G dengan P = {1. S  aAa, 2. A  aAa, 3. A  b}. Jawab : Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum : S  aAa (1) S  aAa (1)  aba (3)  aaAaa (2)   a Aa (2)  a ba (3) Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L (G ) = { a ba  n  1} 2. G dengan P = {1. S  aS, 2. S  aB, 3. B  bC, 4. C  aC, 5. C  a}. Jawab : Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum : S  aB (2) S  aS (1)  abC (3)   aba (5)  a S (1)  a B (2)  a bC (3)  a baC (4)   a ba C (4)  a ba (5) Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L (G )={a ba n 1, m1} 3. G dengan P = {1. S  aSBC, 2. S  abC, 3. bB  bb, 4. bC  bc, 5. CB  BC, 6. cC  cc}. Jawab : Derivasi kalimat terpendek 1: Derivasi kalimat terpendek 3 : S  abC (2) S  aSBC (1)  abc (4)  aaSBCBC (1) Derivasi kalimat terpendek 2 :  aaabCBCBC (2) S  aSBC (1)  aaabBCCBC (5)  aabCBC (2)  aaabBCBCC (5)  aabBCC (5) aabcBC (4)  aaabBBCCC (5)  aabbCC (3)  aaabbBCCC (3)  aabbcC (4)  aaabbbCCC (3)  aabbcc (6)  aaabbbcCC (4)  aaabbbccC (6)  aaabbbccc (6) Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L (G ) = { a b c  n  1} Menentukan Grammar Sebuah Bahasa 1. Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L = { a  n  1} Jawab : P (L ) = {S  aSa} 2. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa : L : himpunan bilangan bulat non negatif ganjil Jawab : Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil. Vt={0,1,2,..9} Vn ={S, G,J} P={SHT|JT|J; TGT|JT|J; H2|4|6|8; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9} P={SGS|JS|J; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9} Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J) P (L ) = {S  JGSJS, G  02468, J  13579} 3. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa : B. L = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter Jawab : Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf. Buat dua himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A) SHT|H;THT|AT|H|A; Ha|..|z; A0|..|9 P (L ) = {S  HHT, T  ATHTHA, H  abc…, A  012…} 4. Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa L (G ) = {a b n,m  1, n  m} Jawab : Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L (G ) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x  y berarti x > y atau x < y. L = L  L , L ={a b n > m  1}, L = {a b 1  n < m}.
P (L ) = {A  aAaC, C  aCbab}, Q(L ) = {B  BbDb, D aDbab}
P (L ) = {S AB, A  aAaC, C  aCbab, B  BbDb, D aDbab}

5. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :
L = bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.

Jawab :

Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J).
P (L ) = {S  NGAJA, A  NNAJA, G 2468,
N 02468, J  13579}





C. Mesin Pengenal Bahasa

Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing mesin tersebut adalah :

Kelas Bahasa Mesin Pengenal Bahasa
Unrestricted Grammar (UG) Mesin Turing (Turing Machine), TM
Context Sensitive Grammar (CSG) Linear Bounded Automata, LBA
Context Free Gammar (CFG) Pushdown Automata, PDA
Regular Grammar, RG Finite State Automata, FSA

FINITE STATE AUTOMATA (FSA)


• FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F).

Q : himpunan hingga state
∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)
δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input.
Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.
S  Q : state AWAL
F  Q : himpunan state AKHIR

Contoh : FSA untuk mengecek parity ganjil
Q ={Gnp, Gjl} diagram transisi
∑ = {0,1}

tabel transisi
δ 0 1
Gnp Gnp Gjl
Gjl Gjl Gnp

S = Gnp, F = {Gjl}




• Ada dua jenis FSA :

• Deterministic finite automata (DFA)
• Non deterministik finite automata.(NFA)

- DFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.
δ : Q  ∑ Q
- NFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu.
δ : Q  ∑  2Q

DFA :

Q = {q0, q1, q2}
δ diberikan dalam tabel berikut :

∑= {a, b} δ a b
S = q0 q0 q0 q1
F = {q0, q1} q1 q0 q2
q2 q2 q2


a b a


q0 q1 q2 b


a b

Kalimat yang diterima oleh DFA : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba
Kalimat yang dittolak oleh DFA : bb, abb, abba

DFA ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung substring bb.

Contoh :

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas :

abababaa  diterima
aaaabab  diterima
aaabbaba  ditolak

Jawab :

i) δ (q0,abababaa)  δ (q0,bababaa)  δ (q1,ababaa) 
δ (q0,babaa)  δ (q1,abaa)  δ (q0,baa)  δ (q1,aa) 
δ (q0,a)  q0
Tracing berakhir di q0 (state AKHIR)  kalimat abababaa diterima

ii) δ (q0, aaaabab) δ (q0,aaabab) δ (q0,aabab) 
δ (q0,abab)  δ (q0,bab)  δ (q1,ab)  δ (q0,b)  q1
Tracing berakhir di q1 (state AKHIR)  kalimat aaaababa diterima

iii) δ (q0, aaabbaba)  δ (q0, aabbaba)  δ (q0, abbaba) 
δ (q0, bbaba)  δ (q1,baba)  δ (q2,aba)  δ (q2,ba)  δ (q2,a) q2
Tracing berakhir di q2 (bukan state AKHIR)  kalimat aaabbaba ditolak


Kesimpulan :

sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.


NFA :

Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana :
Q = {q , q , q ,q , q } δ diberikan dalam tabel berikut :
∑= {a, b,c} δ a b c
S = q
q
{q , q }
{q , q }
{q , q }

F = {q }
q
{q , q }
{q }
{q }

q
{q }
{q , q }
{q }

q
{q }
{q }
{q , q }

q
  

Ilustrasi graf untuk NFA adalah sebagai berikut :

a, b, c a, b, c

a
q q

c b a

b
q q q


a, b, c a, b, c


c

kalimat yang diterima NFA di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb
kalimat yang tidak diterima NFA di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc


Sebuah kalimat di terima NFA jika :

• salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau
• himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR

Contoh :

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas :
ab, abc, aabc, aabb

Jawab :

1. δ(q ,ab)  δ(q ,b)  δ(q ,b)  {q , q }  {q } = {q , q , q }
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR  kalimat ab tidak diterima

2. δ(q ,abc)  δ(q ,bc)  δ(q ,bc)  { δ(q ,c)  δ(q ,c)}δ(q , c)
{{ q , q }{ q }}{ q } = {q , q , q ,q }
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR  kalimat abc tidak diterima

3. δ(q ,aabc)  δ(q ,abc)  δ(q ,abc){ δ(q ,bc)  δ(q ,bc)} 
δ (q ,bc) {{ δ(q , c)  δ(q ,c)}  δ(q , c)}  δ(q , c) 
{{{ q , q } { q }}  {q }}  {q } = {q , q , q ,q }
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR  kalimat aabc tidak diterima

4. δ(q ,aabb)  δ(q ,abb)  δ(q ,abb)
 { δ(q ,bb)  δ(q ,bb)}  δ (q ,bb)
{{ δ(q , b)  δ(q ,b)}  δ(q , b)}  δ(q , b)
{{{ q , q } { q , q }}  {q }}  {q } = {q , q , q , q }
Himpunan state mengandung state AKHIR  kalimat aabb diterima

jaringan

Membangun Jaringan Komputer
(Pengenalan Hardware dan Topologi Jaringan)





1. Pendahuluan
Sejak memasyarakatnya Internet dan dipasarkannya sistem operasi Windows95 oleh Microsoft, menghubungkan beberapa komputer baik komputer pribadi (PC) maupun server dengan sebuah jaringan dari jenis LAN (Local Area Network) sampai WAN (Wide Area Network) menjadi sebuah hal yang biasa. Demikian pula dengan konsep “downsizing” maupun “lightsizing” yang bertujuan menekan anggaran belanja khususnya peralatan komputer, maka sebuah jaringan merupakan satu hal yang sangat diperlukan. Dalam makalah ini akan dibahas sebagian komponen yang diperlukan untuk membuat sebuah jaringan komputer. Tulisan ini merupakan bagian pertama dari 2 tulisan yang akan disajikan.

2. Sejarah Jaringan
Konsep jaringan komputer lahir pada tahun 1940-an di Amerika dari sebuah proyek pengembangan komputer MODEL I di laboratorium Bell dan group riset Harvard University yang dipimpin profesor H. Aiken. Pada mulanya proyek tersebut hanyalah ingin memanfaatkan sebuah perangkat komputer yang harus dipakai bersama. Untuk mengerjakan beberapa proses tanpa banyak membuang waktu kosong dibuatlah proses beruntun (Batch Processing), sehingga beberapa program bisa dijalankan dalam sebuah komputer dengan dengan kaidah antrian.
Ditahun 1950-an ketika jenis komputer mulai membesar sampai terciptanya super komputer, maka sebuah komputer mesti melayani beberapa terminal. (Lihat Gambar 1.) Untuk itu ditemukan konsep distribusi proses berdasarkan waktu yang dikenal dengan nama TSS (Time Sharing System), maka untuk pertama kali bentuk jaringan (network) komputer diaplikasikan. Pada sistem TSS beberapa terminal terhubung secara seri ke sebuah host komputer. Dalam proses TSS mulai nampak perpaduan teknologi komputer dan teknologi telekomunikasi yang pada awalnya berkembang sendiri-sendiri.

Gambar 1. Jaringan komputer model TSS.
Memasuki tahun 1970-an, setelah beban pekerjaan bertambah banyak dan harga perangkat komputer besar mulai terasa sangat mahal, maka mulailah digunakan konsep proses distribusi (Distributed Processing). Seperti pada Gambar 2., dalam proses ini beberapa host komputer mengerjakan sebuah pekerjaan besar secara paralel untuk melayani beberapa terminal yang tersambung secara seri disetiap host komputer. Dala proses distribusi sudah mutlak diperlukan perpaduan yang mendalam antara teknologi komputer dan telekomunikasi, karena selain proses yang harus didistribusikan, semua host komputer wajib melayani terminal-terminalnya dalam satu perintah dari komputer pusat.

Gambar 2. Jaringan komputer model distributed processing.
Selanjutnya ketika harga-harga komputer kecil sudah mulai menurun dan konsep proses distribusi sudah matang, maka penggunaan komputer dan jaringannya sudah mulai beragam dari mulai menangani proses bersama maupun komunikasi antar komputer (Peer to Peer System) saja tanpa melalui komputer pusat. Untuk itu mulailah berkembang teknologi jaringan lokal yang dikenal dengan sebutan LAN. Demikian pula ketika Internet mulai diperkenalkan, maka sebagian besar LAN yang berdiri sendiri mulai berhubungan dan terbentuklah jaringan raksasa WAN.


3. Model referensi OSI dan Standarisasi
Untuk menyelenggarakan komunikasi berbagai macam vendor komputer diperlukan sebuah aturan baku yang standar dan disetejui berbagai fihak. Seperti halnya dua orang yang berlainan bangsa, maka untuk berkomunikasi memerlukan penerjemah/interpreter atau satu bahasa yang dimengerti kedua belah fihak. Dalam dunia komputer dan telekomunikasi interpreter identik dengan protokol. Untuk itu maka badan dunia yang menangani masalah standarisasi ISO (International Standardization Organization) membuat aturan baku yang dikenal dengan nama model referensi OSI (Open System Interconnection). Dengan demikian diharapkan semua vendor perangkat telekomunikasi haruslah berpedoman dengan model referensi ini dalam mengembangkan protokolnya.
Model referensi OSI terdiri dari 7 lapisan, mulai dari lapisan fisik sampai dengan aplikasi. Model referensi ini tidak hanya berguna untuk produk-produk LAN saja, tetapi dalam membangung jaringan Internet sekalipun sangat diperlukan. Hubungan antara model referensi OSI dengan protokol Internet bisa dilihat dalam Tabel 1.
Table 1. Hubungan referensi model OSI dengan protokol Internet.
Model OSI TCP/IP Protokol TCP/IP
No Lapisan Nama Protokol Kegunaan
7 Aplikasi Aplikasi DHCP (Dynamic Host Configuration Protocol) Protokol untuk distribusi IP pada jaringan dengan jumlah IP yang terbatas
DNS (Domain Name Server) Data base nama domain mesin dan nomer IP
FTP (File Transfer Protocol) Protokol untuk transfer file
HTTP (HyperText Transfer Protocol) Protokol untuk transfer file HTML dan Web
MIME (Multipurpose Internet Mail Extention) Protokol untuk mengirim file binary dalam bentuk teks
NNTP (Networ News Transfer Protocol) Protokol untuk menerima dan mengirim newsgroup
POP (Post Office Protocol) Protokol untuk mengambil mail dari server
SMB (Server Message Block) Protokol untuk transfer berbagai server file DOS dan Windows
6 Presentasi SMTP (Simple Mail Transfer Protocol) Protokol untuk pertukaran mail
SNMP (Simple Network Management Protocol) Protokol untuk manejemen jaringan
Telnet Protokol untuk akses dari jarak jauh
TFTP (Trivial FTP) Protokol untuk transfer file
5 Sessi NETBIOS (Network Basic Input Output System) BIOS jaringan standar
RPC (Remote Procedure Call) Prosedur pemanggilan jarak jauh
SOCKET Input Output untuk network jenis BSD-UNIX
4 Transport Transport TCP (Transmission Control Protocol) Protokol pertukaran data beroriantasi (connection oriented)
UDP (User Datagram Protocol) Protokol pertukaran data non-oriantasi (connectionless)
3 Network Internet IP (Internet Protocol) Protokol untuk menetapkan routing
RIP (Routing Information Protocol) Protokol untuk memilih routing
ARP (Address Resolution Protocol) Protokol untuk mendapatkan informasi hardware dari nomer IP
RARP (Reverse ARP) Protokol untuk mendapatkan informasi nomer IP dari hardware
2 Datalink LLC Network Interface PPP (Point to Point Protocol) Protokol untuk point ke point
SLIP (Serial Line Internet Protocol) Protokol dengan menggunakan sambungan serial
MAC Ethernet, FDDI,
ISDN, ATM
1 Fisik

Standarisasi masalah jaringan tidak hanya dilakukan oleh ISO saja, tetapi juga diselenggarakan oleh badan dunia lainnya seperti ITU (International Telecommunication Union), ANSI (American National Standard Institute), NCITS (National Committee for Information Technology Standardization), bahkan juga oleh lembaga asosiasi profesi IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) dan ATM-Forum di Amerika. Pada prakteknya bahkan vendor-vendor produk LAN bahkan memakai standar yang dihasilkan IEEE. Kita bisa lihat misalnya badan pekerja yang dibentuk oleh IEEE yang banyak membuat standarisasi peralatan telekomunikasi seperti yang tertera pada Tabel 2.
Tabel 2. Badan pekerja di IEEE
Working Group Bentuk Kegiatan
IEEE802.1 Standarisasi interface lapisan atas HILI (High Level Interface) dan Data Link termasuk MAC (Medium Access Control) dan LLC (Logical Link Control).
IEEE802.2 Standarisasi lapisan LLC.
IEEE802.3 Standarisasi lapisan MAC untuk CSMA/CD (10Base5, 10Base2, 10BaseT, dll.)
IEEE802.4 Standarisasi lapisan MAC untuk Token Bus.
IEEE802.5 Standarisasi lapisan MAC untuk Token Ring.
IEEE802.6 Standarisasi lapisan MAC untuk MAN-DQDB (Metropolitan Area Network-Distributed Queue Dual Bus.)
IEEE802.7 Grup pendukung BTAG (Broadband Technical Advisory Group) pada LAN.
IEEE802.8 Grup pendukung FOTAG (Fiber Optic Technical Advisory Group.)
IEEE802.9 Standarisasi ISDN (Integrated Services Digital Network) dan IS (Integrated Services ) LAN.
IEEE802.10 Standarisasi masalah pengamanan jaringan (LAN Security.)
IEEE802.11 Standarisasi masalah wireless LAN dan CSMA/CD bersama IEEE802.3.
IEEE802.12 Standarisasi masalah 100VG-AnyLAN
IEEE802.14 Standarisasi masalah protocol CATV

4. Ethernet
Ethernet adalah sistem jaringan yang dibuat dan dipatenkan perusahaan Xerox. Ethernet adalah implementasi metoda CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection) yang dikembangkan tahun 1960 pada proyek wireless ALOHA di Hawaii University diatas kabel coaxial. Standarisasi sistem ethernet dilakukan sejak tahun 1978 oleh IEEE. (lihat Tabel 2.) Kecepatan transmisi data di ethernet sampai saat ini adalah 10 sampai 100 Mbps. Saat in yang umum ada dipasaran adalah ethernet berkecepatan 10 Mbps yang biasa disebut seri 10Base. Ada bermacam-macam jenis 10Base diantaranya adalah: 10Base5, 10Base2, 10BaseT, dan 10BaseF yang akan diterangkan lebih lanjut kemudian.
Pada metoda CSMA/CD, sebuah host komputer yang akan mengirim data ke jaringan pertama-tama memastikan bahwa jaringan sedang tidak dipakai untuk transfer dari dan oleh host komputer lainnya. Jika pada tahap pengecekan ditemukan transmisi data lain dan terjadi tabrakan (collision), maka host komputer tersebut diharuskan mengulang permohonan (request) pengiriman pada selang waktu berikutnya yang dilakukan secara acak (random). Dengan demikian maka jaringan efektif bisa digunakan secara bergantian.
Untuk menentukan pada posisi mana sebuah host komputer berada, maka tiap-tiap perangkat ethernet diberikan alamat (address) sepanjang 48 bit yang unik (hanya satu di dunia). Informasi alamat disimpan dalam chip yang biasanya nampak pada saat komputer di start dalam urutan angka berbasis 16, seperti pada Gambar 3.

Gambar 3. Contoh ethernet address.
48 bit angka agar mudah dimengerti dikelompokkan masing-masing 8 bit untuk menyetakan bilangan berbasis 16 seperti contoh di atas (00 40 05 61 20 e6), 3 angka didepan adalah kode perusahaan pembuat chip tersebut. Chip diatas dibuat oleh ANI Communications Inc. Contoh vendor terkenal bisa dilihat di Tabel 3, dan informasi lebih lengkap lainnya dapat diperoleh di http://standards.ieee.org/regauth/oui/index.html
Tabel 3. Daftar vendor terkenal chip ethernet
Nomer kode Nama vendor
00:00:0C Sisco System
00:00:1B Novell
00:00:AA Xerox
00:00:4C NEC
00:00:74 Ricoh
08:08:08 3COM
08:00:07 Apple Computer
08:00:09 Hewlett Packard
08:00:20 Sun Microsystems
08:00:2B DEC
08:00:5A IBM
Dengan berdasarkan address ehternet, maka setiap protokol komunikasi (TCP/IP, IPX, AppleTalk, dll.) berusaha memanfaatkan untuk informasi masing-masing host komputer dijaringan.

A. 10Base5

Sistem 10Base5 menggunakan kabel coaxial berdiameter 0,5 inch (10 mm) sebagai media penghubung berbentuk bus seperti pad Gambar 4. Biasanya kabelnya berwarna kuning dan pada kedua ujung kebelnya diberi konsentrator sehingga mempunyai resistansi sebesar 50 ohm. Jika menggunakan 10Base5, satu segmen jaringan bisa sepanjang maksimal 500 m, bahkan jika dipasang penghubung (repeater) sebuah jaringan bisa mencapai panjang maksimum 2,5 km.
Seperti pada Gambar 5, antara NIC (Network Interface Card) yang ada di komputer (DTE, Data Terminal Equipment) dengan media transmisi bus (kabel coaxial)-nya diperlukan sebuah transceiver (MAU, Medium Attachment Unit). Antar MAU dibuat jarak minimal 2,5 m, dan setiap segment hanya mampu menampung sebanyak 100 unit. Konektor yang dipakai adalah konektor 15 pin.

Gambar 4. Jaringan dengan media 10Base5.

Gambar 5. Struktur 10Base5.

B. 10Base2

Seperti pada jaringan 10Base5, 10Base2 mempunyai struktur jaringan berbentuk bus. (Gambar 6). Hanya saja kabel yang digunakan lebih kecil, berdiameter 5 mm dengan jenis twisted pair. Tidak diperlukan MAU kerena MAU telah ada didalam NIC-nya sehingga bisa menjadi lebih ekonomis. Karenanya jaringan ini dikenal juga dengan sebutan CheaperNet. Dibandingkan dengan jaringan 10Base5, panjang maksimal sebuah segmennya menjadi lebih pendek, sekitar 185 m, dan bisa disambbung sampai 5 segmen menjadi sekitar 925 m. Sebuah segmen hanya mampu menampung tidak lebih dari 30 unit komputer saja. Pada jaringan ini pun diperlukan konsentrator yang membuat ujung-ujung media transmisi busnya menjadi beresistansi 50 ohm. Untuk jenis konektor dipakai jenis BNC.

Gambar 6. Jaringan dengan media 10Base5.

Gambar 7. Struktur 10Base2.

C. 10BaseT

Berbeda dengan 2 jenis jaringan diatas, 10BaseT berstruktur bintang (star) seperti terlihat di Gambar 8. Tidak diperlukan MAU kerena sudah termasuk didalam NIC-nya. Sebagai pengganti konsentrator dan repeater diperlukan hub karena jaringan berbentuk star. Panjang sebuah segmen jaringan maksimal 100 m, dan setiap hub bisa dihubungkan untuk memperpanjang jaringan sampai 4 unit sehingga maksimal komputer tersambung bisa mencapai 1024 unit.

Gambar 8. Jaringan dengan media 10BaseT.

Gambar 9. Struktur 10BaseT.

Menggunakan konektor modular jack RJ-45 dan kabel jenis UTP (Unshielded Twisted Pair) seperti kabel telepon di rumah-rumah. Saat ini kabel UTP yang banyak digunakan adalah jenis kategori 5 karena bisa mencapai kecepatan transmisi 100 Mbps. Masing-masing jenis kabel UTP dan kegunaanya bisa dilihat di Table 4.
Tabel 4. Jenis kabel UTP dan aplikasinya.


Kategori Aplikasi
Category 1 Dipakai untuk komunikasi suara (voice), dan digunakan untuk kabel telepon di rumah-rumah.
Category 2 Terdiri dari 4 pasang kabel twisted pair dan bisa digunakan untuk komunikasi data sampai kecepatan 4 Mbps.
Category 3 Bisa digunakan untuk transmisi data dengan kecepatan sampai 10 Mbps dan digunakan untuk Ethernet dan TokenRing.
Category 4 Sama dengan category 3 tetapi dengan kecepatan transmisi sampai 16 Mbps.
Category 5 Bisa digunakan pada kecepatan transmisi sampai 100 Mbps, biasanya digunakan untuk FastEthernet (100Base) atau network ATM.



D. 10BaseF

Bentuk jaringan 10BaseF sama dengan 10BaseT yakni berbentuk star. Karena menggunakan serat optik (fiber optic) untuk media transmisinya, maka panjang jarak antara NIC dan konsentratornya menjadi lebih panjang sampai 20 kali (2000 m). Demikian pula dengan panjang total jaringannya. Pada 10BaseF, untuk transmisi output (TX) dan input (RX) menggunakan kabel/media yang berbeda.

Gambar 10. Struktur 10BaseF.

Gambar 11. Foto NIC jenis 10Base5, 10Base2, dan 10BaseT.

E. Fast Ethernet (100BaseT series)
Selai jenis NIC yang telah diterangkan di atas, jenis ethernet chip lainnya adalah seri 100Base. Seri 100Base mempunyai beragam jenis berdasarkan metode akses datanya diantaranya adalah: 100Base-T4, 100Base-TX, dan 100Base-FX. Kecepatan transmisi seri 100Base bisa melebihi kecepatan chip pendahulunya (seri 10Base) antara 2-20 kali (20-200 Mbps). Ini dibuat untuk menyaingi jenis LAN berkecepatan tinggi lainnya seperti: FDDI, 100VG-AnyLAN dan lain sebagainya.



5. Desain Jaringan
Pada saat kita telah mengetahui perangkat pendukung untuk membangun sebuah jaringan, maka langkah selanjutnya adalah mendesain jaringan sesuai yang kita perlukan. Apakah jaringan yang akan kita bangun akan berbentuk garis lurus (bus), bintang (star), lingkaran (ring), ataukah jaring (mesh) yang paling rumit? Juga apakah kecepatan transmisi jaringan kita merupakan jaringan rendah sampai menengah (beberapa M s/d 20Mbps), jaringan berkecepatan tinggi (ratusan Mbps) atau berkecepatan ultra tinggi (lebih dari 1Gbps)? Demikian pula media apa yang akan kita gunakan, apakai berbentuk jaringan kabel (wireline) atau memanfaatkan gelombang radio (wireless)? Yang terakhir, apakah jaringan kita untuk jaringan utama (backbone LAN) ataukah jaringan biasa (floor LAN) yang tentu saja memerlukan prasarana yang berbeda. Mungkin Tabel 5 bisa dibuat sebagai referensinya.


Tabel 5. Faktor-faktor mendesain LAN
Jenis LAN Topologi Bus
Star
Ring Token Ring
Token Bus
Mesh
Kecepatan Menengah (beberapa s/d 20 Mbps)
Tinggi (100 s/d ratusan Mbps)
Ultra (lebih dari 1 Gbps)
Media transmisi Kabel (wireline)
Gelombang radio (wireless)
Tingkatan LAN Utama (backbone LAN)
Biasa (floor LAN)

6. Penutup
Demikianlah setelah kita membicarakan dan mengenal beberapa alat dan sarana untuk sebuah jaringan, diharapkan akan lebih membuka wahana dan pengetahuan kita dalam merencanakan pembuatan sebuah jaringan. Setelah itu kita akan berusaha menelusuri lagi pembicaraan dari segi software, bentuk jaringan dan beberapa pemanfaatannya dalam tulisan selanjutnya dibagian ke-dua.

Daftar Pustaka:
1. UNIX User Japan, Ed. 7, Vol. 5, No. 70, Mei 1998.
2. O. Koizumi, “Zukaide wakaru LAN nosubete,” Nihon Jitsugyo Shuppan, Tokyo Agustus 1998.
3. Linux Japan, Ed. 2, Vol. 1, No. 4, Januari 1999.
4. H. Koyama, et.al, “Linux nyuumon,” Toppan-shuppan, Tokyo, Oktober 1996.
5. Maebara, “Linux de Internet,” Fuki-shuppan, Tokyo, April 1996.
6. http://www.datatelsup.com, http://www.cs.smsu.edu/~pete/csc465/notes/ethernet.html, http://www.3com.co.jp/, http://www.sun.com, http://www.dell.com
7. http://www.ieee.org, http://www.linux.or.id, http://www.pii.or.id/elektro

program linear

PEMROGRAMAN LINIER
(Sumber : Siringoringo, 2005)

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

Karakteristik Pemrograman Linier

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.

Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.

Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

Pembentukan model matematik

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :

Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0

Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.

Contoh Kasus yang diselesaikan

Pada sub bab ini terdapat 10 kasus dengan karakteristik berbeda yang sudah diselesaikan untuk memperkaya pembaca dalam ilmu dan seni permodelan. Pahami dan perhatikan teknik permodelannya dengan hati-hati.

1. Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.

Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematiknya !

Solusi :

Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi adalah waktu kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus diproduksi (pangsa pasar ).

Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya yang membatasi , dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber daya ( waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan meru[pakan maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan ≤ atau ≥ tergantung dari pendefinisianvariabelnya.
Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi
x2 = jumlah kursi yang akan diproduksi

Model umum Pemrograman Linier kasus di atas adalah :

Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 1.2 x1 + 0.5 x2

Kendala :
2x1 + 0.5 x2 ≤ 32
x1/x2 ≥ ¼ atau 4x1≥ x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0


2. Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut :


Bahan Kg per kg bahan
Kalsium Protein Serat Biaya (Rp/kg)
Jagung 0.001 0.09 0.02 2000
Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500


Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematiknya !

Solusi :

Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan , alternative keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan pakan. Alternative keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari.

Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa total biaya yang harus dikeluarkan peternak proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pengeluaran pembelian bahan pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai. Jumlah masing-masing serat, protein dan kalsium yang ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan. Dengan demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan minimisasi, karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala pertama (batasan jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan (=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan serat) menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan protein) menggunakan pertidaksamaan ≥.
Kita definisikan :
x1 = jumlah jagung yang akan digunakan
x2 = jumlah bungkil kedelai yang akan digunakan

Model umum Pemrograman linier kasus di atas oleh karenanya adalah :

Fungsi tujuan : minimumkan z = 2000 x1 + 5500 x2
Kendala :
x1 + x2 = 90
0.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2 ≥ 0



3. Suatu bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku bunga per tahun 14% untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet.
Formulasikan masalah di atas kedalam bentuk model matematiknya !

Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan pengembalian pinjaman. Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi pinjaman pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil.

Sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan pinjaman pembelian mobil, dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi , karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh manajemen bank.
Kita definisikan :
x1 = jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi
x2 = jumlah anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.

Model umum Pemrograman Linier kasus diatas adalah :

Fungsi tujuan : Maksimumkan z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2
Kendala :
x1 + x2 ≤ 180
x2 ≥ 2x1 atau -2x1 + x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0

4. Suatu pabrik perakitan radio menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2 pada fasilitas perakitan yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut :

Stasiun kerja Waktu perakitan per unit (menit)
HiFi-1 HiFi-2
1 6 4
2 5 5
3 4 6

Waktu kerja masing-masing stasiun kerja adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun kerja membutuhkan perawatan harian selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.
Formulasikan permasalahan ini kedalam model matematiknya !

Solusi :
Alternatif keputusan adalah : radio tipe HiFi-1 (x1) dan radio tipe HiFi-2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan jumlah radio HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi.
Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing stasiun kerja dikurangi dengan waktu yang dibutuhkan untuk perawatan.
Waktu produktif masing-masing stasiun kerja oleh karenanya adalah :
Stasiun 1 : 480 menit – 48 menit = 432 menit
Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit
Stasiun 3 : 480 menit – 57.6 menit = 422.4 menit.

Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = x1 + x2
Kendala :
6x1 + 4x2 ≤ 432
5x1 + 5x2 ≤ 412.8
4x1 + 6x2 ≤ 422.4
x1, x2 ≥ 0

5. Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu produksi dan keuntungan per unit masing-masing produk ditunjukkan table di bawah ini :

Produk Waktu produksi (menit)
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin 4
1 10 6 8 2
2 5 20 15 3

Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !

Solusi :
Alternatif keputusan adalah : produk 1 (x1) dan produk 2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing mesin.

Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2 ≤ 600
6 x1 + 20 x2 ≤ 600
8 x1 + 15 x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0


6. Empat produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu pemrosesan dalam jam per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan table di bawah ini :

Mesin Waktu per unit (jam)
Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk 4
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2

Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara langsung pada jam mesin. Asumsikan biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara berturut-turut adalah $10 dan $5. Waktu yang disediakan untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah 380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah $65, $70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !

Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk 1,2,3 dan 4 yang dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan. Perhatikan, keuntungan diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 – (10x2 + 3x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 – (10x3 + 2x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 – (10x4 + 1x5) = 10
Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 – (10x2 + 2x5) = 15

Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang disediakan kedua mesin.

Definisikan :
x1 : jumlah produk 1 yang dihasilkan
x2 : jumlah produk 2 yang dihasilkan
x3 : jumlah produk 3 yang dihasilkan
x4 : jumlah produk 4 yang dihasilkan

Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 30 x1 + 30x2 + 10 x3 + 15 x4
Kendala :
2x1 + 3 x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 500
3x1 + 2 x2 + x3 + 2x4 ≤ 380
x1, x2, x3 , x4 ≥ 0


7. Suatu perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk yang dihasilkan (produk 1,2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan membatasi output diringkaskan pada table berikut :

Tipe mesin Waktu yang dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam) Waktu yang tersedia (jam per minggu)
Produk 1 Produk 2 Produk 3
Mesin milling 9 3 5 500
Lathe 5 4 0 350
Grinder 3 0 2 150

Bagian penjualan mengindikasikan bahwa penjualan potensial untuk produk 1 dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan potensial untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk secara berturut-turut adalah $50, $20 dan $25.
Formulasikan permasalahan diatas kedalam model matematik !

Solusi :
Alternatif keputusan :
Jumlah produk 1 yang dihasilkan = x1
Jumlah produk 2 yang dihasilkan = x2
Jumlah produk 3 yang dihasilkan = x3

Tujuannya adalah : memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah :
Jam kerja mesin milling per minggu : 500 jam
Jam kerja mesin llathe per minggu : 350 jam
Jam kerja mesin grinder per minggu : 150 jam.

Model matematikanya adalah :
Maksimumkan z = 50 x1 + 20 x2 + 25 x3
Kendala :
9x1 + 3 x2 + 5x3 ≤ 500
5x1 + 4 x2 ≤ 350
3x1 + 2x3 ≤ 150
x3 ≤ 20
x1, x2, x3 g ≥ 0



------------****------------

Sumber :

Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.

riset operasi

BAHAN KULIAH
RISET OPERASIONAL









Disusun oleh:
BAMBANG YUWONO, ST, MT
PUTRI NUR ISTIANI (123030113)






JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UPN “VETERAN” YOGYAKARTA
2007 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
1
SILABUS
Matakuliah :Riset Operasional (Operation Research)

Materi :
1 PENDAHULUAN
Perkembangan Riset Operasi
Arti Riset Operasi
2 PROGRAM LINEAR : Metode GRAFIK
3 PROGRAM LINEAR : Metode Simplek
4 DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS
5 PERSOALAN PENUGASAN (ASSIGNMENT)
6 PERSOALAN TRANSPORTASI
7 ANALISA NETWORK
8 TEORI ANTRIAN
9 Demo Program menggunakan POM / LINDO / QM

Buku :
1. Bambang Yuwono, Bahan Kuliah Riset Operasi, 2007
2. Pangestu dkk, Dasar-Dasar Riset Operasi, BPFE, 1983,
Yogyakarta
3. Hamdy Taha, Operation Research An Introduction, Edisi 4,
Macmillan, New York
4. Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005

PENILAIAN :

1 UTS
2 UAS
3 KUIS
4 TUGAS

BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
2
CONTOH PERMASALAHAN RISET OPERASI

SOAL 1 (MAKSIMASI)
BAYU FURNITURE memproduksi 2 jenis produk yaitu meja dan kursi
yang harus diproses melalui perakitan dan finishing. Proses perakitan
memiliki 60 jam kerja sedang proses finishing memiliki 48 jam kerja. Untuk
menghasilkan satu meja dibutuhkan 4 jam perakitan dan 2 jam finishing,
sedangkan satu kursi membutuhkan 2 jam perakitan dan 4 jam finishing.
Laba untuk tiap meja $8 dan tiap kursi $6. Sekarang kita harus
menentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja dan kursi yang harus
diproduksi, agar menghasilkan laba maksimal.

SOAL 2 (MAKSIMASI)
Perusahaan tas “HANIF” membuat 2 macam tas yaitu tas merk DORA
dan merk SPONGEBOB. Untuk membuat tas tersebut perusahaan
memiliki 3 mesin. Mesin 1 khusus untuk memberi logo DORA, mesin 2
khusus untuk memberi logo SPONGEBOB dan mesin 3 untuk menjahit tas
dan membuat ritsleting. Setiap lusin tas merk DORA mula-mula dikerjakan
di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan
di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk tas merk SPONGEBOB tidak
diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3
jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari
untuk mesin 1=8 jam, mesin 2=15 jam, dan mesin 3=30 jam. Sumbangan
terhadap laba untuk setiap lusin tas merk DORA $3, sedang merk
SPONGEBOB $5. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin
sebaiknya tas merk DORA dan merk SPONGEBOB yang dibuat agar bisa
memaksimumkan laba.


BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
3
SOAL 3 (MINIMASI)
Sebuah toko “TO MING SE” menyediakan dua merk pupuk, yaitu
Standard dan Super. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen
dan fosfat dalam jumlah tertentu.

Jenis Kandungan Bahan Kimia
Nitrogen (kg/sak) Fosfat Kg/sak)
Standard 2 4
Super 4 3

Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg
fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk Standar dan Super masing-
masing $3 dan $6. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing-
masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai
minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi.

SOAL 6 (MAKSIMASI)
HMJ Teknik Informatika UPN akan memproduksi dua jenis jaket, yaitu
jaket Standard dan jaket super. setiap jenis jaket menggunakan sumber
daya sebagai berikut :

jenis jaket sumber daya
Standard Super
Kapasitas
Bahan baku 4 6 1200
jumlah jam 4 2 800

Diperkirakan permintaan Produk standard maksimum 250 unit per bulan,
sedang produk super 300 unit per bulan.
Sumbangan keuntungan untuk produk standard sebesar Rp 400 per unit
sedangkan produk Super Rp 300 per unit.
Berapa kapasitas produksi optimum untuk kedua jenis produk tersebut
supaya diperoleh keuntungan maksimum ? BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
4
BAB I. PENDAHULUAN


1. Pengertian Riset Operasi
Riset Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan
permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang
lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.

2. Pemodelan Matematis
Bagian terpenting dari Riset Operasi adalah bagaimana menerjemahkan
permasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yang
mempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yang
kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang
bersifat rasional. Dalam Riset Operasi diperlukan ketajaman berpikir dan logika.
Untuk mendapatkan solusi yang optimal dan memudahkan kita mendapatkan
hasil, kita dapat menggunakan komputer. Software yang dapat digunakan antara
lain: LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optimizer) dan POM For
Windows.












BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
5
BAB II. PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
♦ Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan
masalah
♦ Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan
atas sumber daya tersebut.
1. Masalah Maksimisasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2
jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua
produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan
tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,
benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap
unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel
berikut:
Jenis bahan baku Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum
dan tenaga kerja Kain sutera Kain wol penyediaan
Benang sutera 2 3 60 kg
Benang wol - 2 30 kg
Tenaga kerja 2 1 40 jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain
sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana
menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari
agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal. BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
6
Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
1. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
2. 2X2 ≤ 30 (benang wol)
3. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2 ≤ 30
X2=15
3. 2X1 + X2 ≤ 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20































daerah penyelesaian
X1
X2
0
A B
20
C
D
15 E
20
2
3
30
1
40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
7
Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20 X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
8
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.
2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin.
Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala
(1) dan (3).
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900


BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
9
2 . Masalah Minimisasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai
pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan
titik origin.
Contoh :
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan
yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung
vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly
paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan
protein dalam setiap jenis makanan:
Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit
(ribu rupiah)
Royal Bee 2 2 100
Royal Jelly 1 3 80
minimum kebutuhan 8 12
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan
biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
1) 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin)
2) 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)
3) X1 ≥ 2
4) X2 ≥1
4. Membuat grafik
1) 2X1 + X2 = 8 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
10
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2) 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3) X1 = 2
4) X2 = 1















Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
Kesimpulan :

2 4 6
1
4
8
X1
X2
A
B
C
(4)
(2)
(1) (3)
daerah penyelesaian BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
11
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya
produksi 460 ribu rupiah.

SOAL LATIHAN
1. Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Kendala : 1) 2X1 ≤ 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
X1≥ 0 , X2 ≥ 0
2. Minimumkan Z = 5 X1 + 2X2
Kendala: 1) 6X1 + X2 ≥ 6
2) 4X1 + 3X2 ≥ 2
3) X1 + 2X2 ≥ 4 , X1 ≥ 0
3. PT BAKERY memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dan
coklatkeju dengan keuntungan tiap jenis produk masing-masing Rp 150, Rp
400 dan Rp 600. Setiap minggu ditetapkan minimum produksi roti pia 25 unit,
bolukismis 130 unit dan coklatkeju 55 unit. Ketiga jenis roti memerlukan
pemrosesan tiga kali yaitu penyiapan bahan, peracikan dan pengovenan seperti
terlihat pada tabel berikut:
Pemrosesan Jenis roti Penyediaan max
pia bolukismis coklatkeju (jam)
penyiapan bahan 4 2 6 130
peracikan 3 4 9 170
pengovenan 1 2 4 52

Bagaimana formulasi program linear masalah PT Bakery tersebut dan hitung
solusi optimalnya!


BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
12
BAB III. METODE SIMPLEX

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki
variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk
menyelesaikannya digunakan Metode Simplex.
Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:
1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).
2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai
tersebut harus dikalikan –1.
3. Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan
menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga
variabel dasar.
4. Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara
mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan
ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan
lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).
Pembuatan Tabel Simplex
Contoh soal:
Z = 3X1 + 5X2
Kendala:
1) 2X1 ≤ 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
Langkah-langkah:
1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang
harus diperhatikan di atas!)
Fungsi tujuan
Z = 3X1 + 5X2 => Z - 3X1 - 5X2 = 0
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
13
Fungsi kendala
1) 2X1 ≤ 8 => 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 ≤ 15 => 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30
(X3, X4 dan X5 adalah variabel slack)
2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30

3. Memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai
negatif dengan angka terbesar.
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30

4. Memilih baris kunci
Nilai kanan (NK)
Nilai kolom kunci
Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8 ~
X4 0 0 3 0 1 0 15 5
X5 0 6 5 0 0 1 30 6
Index =
angka kunci koef angka kolom kunci BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
14
5. Mengubah nilai-nilai baris kunci
=> dengan cara membaginya dengan angka kunci
Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci
sehingga tabel menjadi seperti berikut:
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8 ~
X2 0 0 1 0 1/3 0 5 5
X5 0 6 5 0 0 1 30 6

6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci
(selain baris kunci) = 0
Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris
baru kunci)
Baris Z
Baris lama [ -3 -5 0 0 0 0 ]
NBBK -5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru -3 0 0 5/3 0 25
Baris X3
Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]
NBBK 0 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru 2 0 1 0 0 8
Baris X5
Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]
NBBK 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru 6 0 0 -5/3 1 5

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:

BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
15
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
X3 0 2 0 1 0 0 8
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5

7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada
nilai negatif
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
X3 0 2 0 1 0 0 8 4
X2 0 0 1 0 1/3 0 5 ~
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ Zmax
X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6 1/3
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Diperoleh hasil: X1 = 5/6 , X2 = 5, Zmax = 27 ½

SOAL LATIHAN
1. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex
Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2
Fungsi kendala/ batasan:
1) 4X1 + 6X2 ≤ 1200
2) 4X1 + 2X2 ≤ 800
3) X1 ≤ 250
4) X2 ≤ 300
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
16
2. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex
Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 + X3
Dengan fungsi kendala:
1) X1 + X2 + X3 ≤ 9
2) 2X1 + 3X2 ≤ 25
3) X2 + 2X3 ≤ 10
4) X1, X2, X3 ≥ 0

PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR
1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=)
=> ditambah dengan variabel buatan
Contoh :
Fungsi kendala:
1) 2X1 ≤ 8 => 2X1 +X3 = 8
2) 3X2 ≤ 15 => 3X2 +X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 = 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30
Fungsi tujuan:
Z = 3X1 + 5X2 => Z – 3X1 – 5X2 + MX5 = 0
Nilai setiap variabel dasar (X5) harus sebesar 0, sehingga fungsi tujuan harus
dikurangi dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan (3). Nilai
baris Z sebagai berikut:
[ -3 -5 0 0 M , 0 ]
M [ 6 5 0 0 1 , 30]
(-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30M
Tabel:
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -6M-3 -5M-5 0 0 0 -30M
X3 0 2 0 1 0 0 8 4
X4 0 0 3 0 1 0 15 ~
X5 0 6 5 0 0 1 30 5 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
17
VD Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 0 -5M-5 3M+3/2 0 0 -6M+12
X1 0 1 0 1/2 0 0 4 ~
X4 0 0 3 0 1 0 15 5
X5 0 0 5 -3 0 1 6 6/5

Z 1 0 0 -3/2 0 M+1 18
X1 0 1 0 ½ 0 0 4 8
X4 0 0 0 9/5 1 -3/5 19/3 5/27
X2 0 0 1 -3/5 0 1/5 6/5 -2

Z 1 0 0 0 5/6 M+1/2 27 ½ max
X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6 1/3
X2 0 0 1 0 1/3 0 5

Diperoleh hasil : X1 = 5/6, X2 = 5 dan Zmax = 27 ½
2. Fungsi tujuan : Minimisasi
Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda
positif dan negatif pada fungsi tujuan.
Contoh:
Minimumkan Z = 3X1 + 5X2
Fungsi batasan: 1) 2X1 = 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≥ 30
Penyelesaian:
Fungsi batasan: 1) 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
18
Fungsi tujuan menjadi:
maksimumkan (-Z) = -3X1 – 5X2 –MX3 – MX6
diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X1 + 5X2 + MX3 + MX6 = 0
Nilai – nilai variabel dasar (X3 dan X6 ) harus = 0, maka:
[ 3 5 M 0 0 M , 0 ]
-M [ 2 0 1 0 0 0 , 8 ]
-M [ 6 5 0 0 -1 1 , 30 ]
(-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 , -38M

Tabel:
VD Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK index
Z -1 -8M+3 -5M+5 0 0 0 0 -38M
X3 0 2 0 1 0 0 0 8 4
X4 0 0 3 0 1 0 0 15
X6 0 6 -5 0 0 -1 1 30 5

Z -1 3 -5M+5 4M-3/2 0 M 0 -6M-12
X1 0 1 0 ½ 0 0 0 4
X4 0 0 3 0 1 0 0 15 5
X6 0 0 5 -3 0 -1 1 6 6/5

Z -1 0 0 M+3/2 0 1 M+1 -18 min
X1 0 1 0 ½ 0 0 0 4
X4 0 0 1 9/5 1 3/5 -3/5 5 2/5
X2 0 0 1 -3/5 0 -1/5 1/5 6/5

(karena –Z= -18, maka Z=18)
Penyelesaian optimal: X1 = 4, X2 = 6/5 dan Zmin = 18


+ BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
19
SOAL LATIHAN
1. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2
Fungsi batasan : 1) X1 + 2X2 ≥ 20
2) 3X1 + X2 ≥ 20 , X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0
2. Maksimumkan Z = 4X1 + 10X2 + 6X3
Fungsi batasan: 1) X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 6
2) 2X1 – X2 + 4X3 = 4
X1, X2, X3 ≥ 0





















BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
20
BAB III. DUALITAS
Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling
berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk
Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai
berikut:
Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)
Koefisien fungsi tujuan ……………… Nilai kanan fungsi batasan
Maksimumkan Z (atau Y) …………... Minimumkan Y (atau Z)
Batasan i …………………………….. Variabel yi (atau xi)
Bentuk ≤ …………………………….. yi ≥ 0
Bentuk = …………………………….. yi ≥ dihilangkan
Variabel Xj ………………………….. Batasan j
Xj ≥ 0 ………………………………... Bentuk ≥
Xj ≥ 0 dihilangkan …………………... Bentuk =

Contoh 1:
Primal
Minimumkan Z = 5X1 + 2X2 + X3

Fungsi batasan: 1) 2X1 + 3X2 + X3 ≥ 20
2) 6X1 + 8X2 + 5X3 ≥ 30
3) 7X1 + X2 + 3X3 ≥ 40
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Dual
Maksimumkan Y= 20 y1 + 30 y2 + 40 y3

Fungsi batasan: 1) 2y1 + 6y2 + 7y3 ≤ 5
2) 3y1 + 8y2 + y3 ≤ 2
3) y1 + 5y2 + 3y3 ≤ 1
y1, y2, y3 ≥ 0 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
21
Contoh 2 :
Primal
Minimumkan Z = 2X1 + X2
Fungsi batasan: 1) X1 + 5X2 ≤ 10
2) X1 + 3X2 ≤ 6
3) 2X1 + 2X2 ≤ 8
X1, X2 ≥ 0
Dual
Maksimumkan Y = 10 y1 + 6y2 + 8y3
Fungsi batasan : 1) y1 + y2 + 2y3 ≥ 2
2) 5y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 1
y1, y2 ≥ 0
Contoh 3:
Primal
Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3
Fungsi batasan: 1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25
2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30
X1, X2, X3 ≥ 0
Dual
Minimumkan Y= 25y1 + 30y2
Fungsi batasan: 1) 4y1 + 7y2 ≥ 1
2) 8y1 + 5y2 ≥ 3
3) 6y1 + 9y2 ≥ -2






BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
22
SOAL LATIHAN
1. Primal
Maksimumkan Z = 5X1 + 7X2
Fungsi batasan: 1) 2X1 + X2 ≤ 8
2) X1 + 2X2 ≤ 8
3) 6X1 + 7X2 ≤ 42
X1, X2, X3 ≥ 0
2. Primal
Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3
Fungsi batasan: 1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25
2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30
X1, X2, X3 ≥ 0
3. Primal
Minimumkan Z = 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 + 3X5
Fungsi batasan: 1) 2X1 + 5X2 + 4 X4 + X5 ≥ 6
2) 4X2 - 2X3 + 2X4 + 3X5 ≥ 5
3) X1 – 6X2 + 3X3 + 7X4 + 5X5 ≤ 7
X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
4. Primal
Minimumkan Z = X1 + 2X2 + X3
Fungsi batasan: 1) X2 + X3 = 1
2) 3X1 + X2 + 3X3 = 4
X1, X2, X3 ≥ 0






BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
23
BAB IV. MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT PROBLEM)

Salah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah Metode Hungarian.
Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama
persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber harus
ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi, masalah penugasan akan mencakup
sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! (n faktorial)
kemungkinan. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah dalam bentuk matriks
segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolom-
kolomnya menunjukkan tugas-tugas.
1. Masalah Minimisasi
Contoh:
Sebuah perusahaan kecil mempunyai 4 pekerjaan yang berbeda untuk diselesaikan
oleh 4 karyawan. Biaya penugasan seorang karyawan untuk pekerjaan yang
berbeda adalah berbeda karena sifat pekerjaan berbeda-beda. Setiap karyawan
mempunyai tingkat ketrampilan, pengalaman kerja dan latar belakang pendidikan
serta latihan yang berbeda pula. Sehingga biaya penyelesaian pekerjaan yang
sama oleh para karyawan yang berlainan juga berbeda. Tabel biaya sebagai
berikut:
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan Rp 150 Rp 200 Rp 180 Rp 220
Hamdan Rp 140 Rp 160 Rp 210 Rp 170
Hasan Rp 250 Rp 200 Rp 230 Rp 200
Dzakwan Rp 170 Rp 180 Rp 180 Rp 160

Masalahnya adalah bagaimana menugaskan keempat karyawan untuk
menyelesaikan keempat pekerjaan agar total biaya pekerjaan minimum.
Langkah-langkah:
1. Menyusun tabel biaya seperti tabel di atas.
2. Melakukan pengurangan baris, dengan cara:
a. memilih biaya terkecil setiap baris BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
24
b. kurangkan semua biaya dengan biaya terkecil setiap baris
Sehingga menghasilkan reduced cost matrix /matrik biaya yang telah dikurangi.
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan (150-150)
=0
(200-150)
=50
(180-150)
= 30
(220-150)
= 70
Hamdan (140-140)
= 0
(160-140)
= 20
(210-140)
=70
(170-140)
= 30
Hasan (250-200)
= 50
(200-200)
= 0
(230-200)
= 30
(200-200)
= 0
Dzakwan (170-160)
= 10
(180-160)
= 20
(180-160)
= 20
(160-160)
= 0

3. Melakukan pengurangan kolom
Berdasarkan hasil tabel langkah 2, pilih biaya terkecil setiap kolom untuk
mengurangi seluruh biaya dalam kolom-kolom tersebut. Pada contoh di atas hanya
dilakukan pada kolom III karena semua kolom lainnya telah mempunyai elemen
yang bernilai nol (0). Jika langkah kedua telah menghasilkan paling sedikit satu
nilai nol pada setiap kolom, maka langkah ketiga dapat dihilangkan. Berikut
matrix total opportunity cost, dimana setiap baris dan kolom terdapat paling
sedikit satu nilai nol.
Tabel total opportunity cost matrix
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan 0 50 (30-20)=10 70
Hamdan 0 20 (70-20)=50 30
Hasan 50 0 (30-20)=10 0
Dzakwan 10 20 (20-20)=0 0

4. Membentuk penugasan optimum
Prosedur praktis untuk melakukan test optimalisasi adalah dengan menarik
sejumlah minimum garis horisontal dan/ atau vertikal untuk meliputi seluruh
elemen bernilai nol dalam total opportunity cost matrix. Jika jumlah garis sama
dengan jumlah baris/ kolom maka penugasan telah optimal. Jika tidak maka harus
direvisi. BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
25
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan 0 50 10 70
Hamdan 0 20 50 30
Hasan 50 0 10 0
Dzakwan 10 20 0 0

5. Melakukan revisi tabel
a. Untuk merevisi total opportunity cost, pilih angka terkecil yang tidak
terliput (dilewati) garis. (pada contoh di atas = 10)
b. Kurangkan angka yang tidak dilewati garis dengan angka terkecil (10)
c. Tambahkan angka yang terdapat pada persilangan garis dengan angka
terkecil (10) yaitu (50) pada Hasan dan (10) pada Dzakwan.
d. Kembali ke langkah 4
Revised matrix:
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan 0 40 0 60
Hamdan 0 10 40 20
Hasan 60 0 10 0
Dzakwan 20 20 0 0

Berikut tabel penugasannya

Penugasan Biaya
Raihan - III
Hamdan - I
Hasan - II
Dzakwan - IV
Rp 180
Rp 140
Rp 200
Rp 160
Rp 680

2. Jumlah Pekerjaan Tidak Sama Dengan Jumlah Karyawan
Bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan, maka harus ditambahkan
karyawan semu (dummy worker). Biaya semu sama dengan nol karena tidak akan
terjadi biaya bila suatu pekerjaan ditugaskan ke karyawan semu. Bila jumlah
karyawan lebih banyak daripada pekerjaan, maka ditambahkan pekerjaan semu BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
26
(dummy job). Sebagai contoh, bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah
karyawan dapat dilihat pada tabel berikut:
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan Rp 150 Rp 200 Rp 180 Rp 220
Hamdan Rp 140 Rp 160 Rp 210 Rp 170
Hasan Rp 250 Rp 200 Rp 230 Rp 200
Dzakwan Rp 170 Rp 180 Rp 180 Rp 160
Dummy X Rp 0 Rp 0 Rp 0 Rp 0

Prosedur penyelesaian sama dengan langkah-langkah sebelumnya.
3. Masalah Maksimisasi
Dalam masalah maksimisasi, elemen-elemen matriks menunjukkan tingkat
keuntungan. Efektivitas pelaksanaan tugas oleh karyawan diukur dengan jumlah
kontribusi keuntungan.
Contoh: Tabel keuntungan
Pekerjaan
karyawan
I II III IV V
Afif Rp 1000 Rp 1200 Rp 1000 Rp 800 Rp 1500
Bady Rp 1400 Rp 1000 Rp 900 Rp 1500 Rp 1300
Dzaky Rp 900 Rp 800 Rp 700 Rp 800 Rp 1200
Farras Rp 1300 Rp 1500 Rp 800 Rp 1600 Rp 1100
Ghazy Rp 1000 Rp 1300 Rp 1400 Rp 1100 Rp 1700

Langkah-langkah:
a. Seluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam
baris yang sama. Prosedur ini menghasilkan Matriks Opportunity Loss.
Matriks ini sebenarnya bernilai negatif.
Pekerjaan
karyawan
I II III IV V
Afif 500 300 500 700 0
Bady 100 500 600 0 200
Dzaky 300 400 500 400 0
Farras 300 100 800 0 500
Ghazy 700 400 300 600 0
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
27
b. Meminimumkan opportunity-loss dengan cara mengurangi seluruh elemen
dalam setiap kolom (yang belum ada nol-nya) dengan elemen terkecil dari
kolom tersebut.
Matriks total opportunity loss
Pekerjaan
karyawan
I II III IV V
Afif 400 200 200 700 0
Bady 0 400 300 0 200
Dzaky 200 300 200 400 0
Farras 200 0 500 0 500
Ghazy 600 300 0 600 0

Dari matriks di atas dapat dilihat bahwa seluruh elemen yang bernilai nol baru
dapat diliput oleh 4 garis. Jadi matriks harus direvisi.
c. Merevisi matriks
Pekerjaan
karyawan
I II III IV V
Afif 200 0 0 500 0
Bady 0 400 300 0 400
Dzaky 0 100 0 200 0
Farras 200 0 500 0 700
Ghazy 600 300 0 600 200

Schedul penugasan optimal dan keuntungan total untuk dua alternatif
penyelesaian adalah:
Penugasan alternatif 1 keuntungan Penugasan alternatif 2 keuntungan
Afif - II
Bady - I
Dzaky - V
Farras - IV
Ghazy - III
Rp 1200
Rp 1400
Rp 1200
Rp 1600
Rp 1400
Rp 6800
Afif - V
Bady - IV
Dzaky - I
Farras - II
Ghazy - III
Rp 1500
Rp 1500
Rp 900
Rp 1500
Rp 1400
Rp 6800






BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
28
SOAL LATIHAN
1. Sebuah perusahaan pengecoran logam mempunyai empat jenis mesin yang
diberi nama M1, M2, M3 dan M4. Setiap mesin mempunyai kapasitas yang
berbeda dalam pengoperasiannya. Dalam minggu mendatang perusahaan
mendapatkan pesanan untuk menyelesaikan empat jenis pekerjaan (job) yaitu
J1, J2, J3 dan J4. Biaya pengoperasian setiap pekerjaan oleh keempat mesin
dapat dilihat dalam tabel berikut:
Job Mesin
M1 M2 M3 M4
J1 210 150 180 130
J2 140 160 200 190
J3 150 175 220 200
J4 200 115 160 190

Masalahnya adalah bagaimana menugaskan keempat mesin untuk
menyelesaikan keempat jenis pekerjaan agar total biaya pekerjaan minimum!
2. Seorang pengusaha konveksi mempunyai 4 orang karyawati yang
memproduksi 4 jenis produk. Jumlah produk yang dihasilkan masing-masing
karyawan tiap bulannya dapat dilihat pada tabel berikut:
Karyawati Produk
Celana panjang Rok Hem Baju safari
Ulfah 6 7 10 9
Salma 2 8 7 8
Rana 8 9 5 12
Nabila 7 11 12 3

Buat penugasan agar jumlah produk yang dihasilkan bisa maksimum!







BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
29
BAB V. METODE TRANSPORTASI

Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur
distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-
tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi
produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya
alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:
1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok
kanan bawah
Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang
efisien.
2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil
dulu. Lebih efisien dibanding metode NWC.

Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:
1. Stepping Stone (batu loncatan)
2. Modified Distribution Method (MODI)

Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana
penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).
Contoh masalah transportasi:

ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasitas
pabrik
Pabrik
W
Rp 20 Rp 5 Rp 8 90
Pabrik
H
Rp 15 Rp 20 Rp 10 60
Pabrik
P
Rp 25 Rp 10 Rp 19 50
Kebutuhan gudang 50 110 40 200

BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
30
Penyelesaian:
1. Metode NWC

ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasita
s pabrik
Pabrik
W
20 5 8 90
Pabrik
H
15 20 10 60
Pabrik
P
25 10 19 50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

Biaya yang dikeluarkan :
(50 . 20) + (40 . 5) +( 60 . 20) + (10.10) + (40.19) = 3260
2. Metode biaya terkecil
ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasita
s pabrik
Pabrik
W
20 5 8 90
Pabrik
H
15 20 10 60
Pabrik
P
25 10 19 50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

Biaya yang dikeluarkan :
(90 . 5) + (20 . 15) + (40 . 10) + (30 . 25) + (20 . 10) = 2400
50
40
60
10 40
20
90
30
20
40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
31
Mengoptimalkan tabel:
1. Metode Stepping Stone , misal tabel awal menggunakan yang NWC
ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasita
s pabrik
Pabrik
W
20
-
5
+
8 90
Pabrik
H
15
+
20
-
10 60
Pabrik
P
25 10 19 50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

Perbaikan 1 dengan cara trial and error
ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasita
s pabrik
Pabrik
W
20
-
5
+ 90
8 90
Pabrik
H
15
50 +
20
- 10
10 60
Pabrik
P
25 10 19 50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

Setelah dihitung dengan trial and error, biaya yang dikeluarkan:
(50 . 15) + (90 . 5) + (10 . 20) + (10 . 10) + (40 . 19) = 2260



50
40
60
10 40
50
40
60
10 40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
32

Perbaikan 2
ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasita
s pabrik
Pabrik
W
20

50 5
-
40 8
+
90
Pabrik
H
15

20

10 60
Pabrik
P
25 10
50 +
19
-
50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

Biaya yang dikeluarkan :
(50 . 5) + (40 . 8) + (50 . 15) + (10 . 20) + (50 . 10) = 2020
Perbaikan 3
ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasita
s pabrik
Pabrik
W
20

60 5
+
30 8
-
90
Pabrik
H
15

20
-
10
+ 10
60
Pabrik
P
25 10

19

50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

Biaya yang dikeluarkan :
(60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 .10) + (50 . 10) = 1890 (paling optimal)
Jika hasil belum optimal, lakukan perbaikan terus sampai mendapatkan hasil yang
optimal.
50
90
10
10 40
50
50
10
50
40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
33
2. Metode MODI
Langkah-langkah:
a. Misal tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC
b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.
c. Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus:
Ri + Kj = Ci
baris kolom biaya
1. W-A = R1 + K1 = 20
2. W-B = R1 + K2 = 5
3. H-B = R2 + K2 = 20
4. P-B = R3 + K2 = 10
5. P-C = R3 + K3 =19
dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan variabel
R1 atau K1, misal R1 = 0
1. R1 + K1 = 20 => 0 + K1 = 20 , K1 =20
2. R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5
3. R2 + K2 = 20 => R2 + 5 = 20 , R2 = 15
4. R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5
5. R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

letakkan nilai tersebut pada baris / kolom yang bersangkutan
ke
dari
Gudang A
K1 = 20
Gudang B
K2 = 5
Gudang C
K3 = 14
Kapasita
s pabrik
PabrikW
R1 = 0
20

5

8 90
PabrikH
R2 = 15
15

20

10 60
PabrikP
R3 = 5
25 10 19 50
Kebutuhan
gudang

50

110

40

200

d. Hitung nilai/ index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:
50
40
60
10 40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
34
Cij - Ri - Kj
1. H-A = 15 – 15 – 20 = - 20
2. P-A = 25 – 5 – 20 = 0
3. W-C = 8 – 0 – 14 = - 14
4. H-C = 10 – 15 – 14 = - 19

(optimal jika pada sel yang kosong, indek perbaikannya ≥ 0, jika belum maka
pilih yang negatifnya besar)
e. Memilih titik tolak perubahan
Pilih nilai yang negatifnya besar yaitu H-A
f. Buat jalur tertutup
Berilah tanda positif pada H-A. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (H-B), 1
sel yang isi terdekat dan sekolom (W-A), berilah tanda negatif pada dua sel
terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel
bertanda negatif tadi (W-B) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi
dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel
yang bertanda positif (50). Jadi, H-A kemudian berisi 50, H-B berisi 60-50=10,
W-B berisi 40+50=90 dan W-A tidak berisi.
ke
dari
Gudang A
K1 = 20
Gudang B
K2 = 5
Gudang C
K3 = 14
Kap.
pabrik
PabrikW
R1 = 0
20
-
5
+ 90
8 90
PabrikH
R2 = 15
15
50 +
20
- 10
10 60
PabrikP
R3 = 5
25 10 19 50
Keb.Gdg 50 110 40 200

g. Ulangi langkah-langkah c – f sampai indeks perbaikan bernilai ≥ 0
hitung sel yang berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5
H-A = R2 + K1 = 15 => R2 + 0 = 15, R2 = 15
50
40
60
10 40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
35
H-B = R2 + K2 = 20 => 15 + 5 = 20 ,
P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5
P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14
Perbaikan indeks:
W-A = 20 – 0 – 0 = 20
W-C = 8 – 0 – 14 = - 6
H-C = 10 – 15 – 14 = - 19
P-A = 25 – 5 – 0 = 20

ke
dari
Gudang A
K1 = 0
Gudang B
K2 = 5
Gudang C
K3 = 14
Kapasita
s pabrik
PabrikW
R1 = 0
20

5

8 90
PabrikH
R2 = 15
15

20
-
10
+ 10
60
PabrikP
R3 = 5
25 10
20 +
19
- 30
50
Keb. Gdg 50 110 40 200

Biaya transportasi : (90 . 5) + (50 . 15) + (10 . 10) + (20 . 10) + (30 . 19) = 2070
Hitung sel yang berisi:
W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5
P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5
P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14
H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 14 = 10 , R2 = - 4
H-A = R2 + K1 = 15 => - 4 + K1 = 15 , K1 = 19

Perbaikan indeks (sel kosong) :
W-A = 20 – 0 – 0 = 20
W-C = 8 – 0 – 14 = - 6
H-B = 20 – 15 – 5 = 0
P-A = 25 – 5 – 0 = 20





50
90
10
40 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
36
ke
dari
Gudang A
K1 = 19
Gudang B
K2 = 5
Gudang C
K3 = 14
Kapasita
s pabrik
PabrikW
R1 = 0
20

80 5
-
8
+ 10
90
PabrikH
R2 = - 4
15

20

10

60
PabrikP
R3 = 5
25 10
+ 30
19
- 20
50
Keb. Gdg 50 110 40 200

Biaya transportasi :
(80 . 5) + (10 . 8) + (50 . 15) + (10 . 10) + (30 .10) + (20 . 19) = 2010

Sel berisi:
W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5
W-C = R1 + K3 = 8 => 0 + K3 = 8 , K3 = 8
H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 8 = 10 , R2 = 2
H-A = R2 + K1 = 15 => 2 + K1 = 15 , K1 = 13
P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5
Indeks perbaikan:
W-A = 20 – 0 – 19 = 1
H-B = 20 – (-4) – 5 = 19
P-A = 25 – 5 – 19 = 1
Indeks perbaikan sudah positif semua, berarti sudah optimal.

ke
dari
Gudang A
K1 = 13
Gudang B
K2 = 5
Gudang C
K3 = 8
Kapasita
s pabrik
PabrikW
R1 = 0
20

5

8 90
PabrikH
R2 = 2
15

20

10 60
PabrikP
R3 = 5
25 10 19 50
Keb. Gdg 50 110 40 200
50
90
20 30
10
50
80
30
10
20
10 BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
37
3. Metode VAM
Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk
mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan.
Langkah metode VAM:
1. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua
(kolom dan baris)
2. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom
3. Pilih biaya terendah
4. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan
5. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh
6. Ulangi langkah 1-5 sampai semua baris dan kolom seluruhnya
teralokasikan.
A B C Kapasitas Perbedaan baris
W
H
P
kebutuhan
20
15
25
50
5
20
10
110
8
10
19
40
90
60
50
8 – 5 = 3
15 – 10 = 5
19 – 10 = 9
Perbedaan
kolom
20 –15
= 5
10-5
= 5
10-8
=2
XPB = 50
Hilangkan baris P

A B C Kapasitas Perbedaan baris
W
H
kebutuhan
20
15
50
5
20
110-50
= 60
8
10
40
90
60

8 – 5 = 3
15 – 10 = 5
Perbedaan
kolom
20 –15
= 5
20-5
= 15
10-8
=2
XWB = 60
Hilangkan kolom B


BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
38
A C Kapasitas Perbedaan baris
W
H
20
15
8
10
90-60 =30
60
20 – 8 = 12
15 – 10 = 5
Kebutuhan 50 40
Perbedaan
kolom
20-15= 5 10-8=2 XWC=30
Hilangkan baris W

A C kapasitas
H 15 10 60
Kebutuhan 50 (40-30)=10 XHA=50
XHC= 10

Biaya transportasi :
(10 . 50) + (5 . 60) + (8 . 30) + (15 . 50) + (10 . 10) = 1890 (optimal)















BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
39
SOAL LATIHAN
1.
ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasitas
pabrik
Pabrik 1 Rp 3200 Rp 3300 Rp 3400 106
Pabrik 2 Rp 3600 Rp 4200 Rp 3800 132
Pabrik 3 Rp 3400 Rp 3700 Rp 4000 127
Kebutuhan gudang 122 152 91 365

Selesaikan dengan metode:
a. NWC
b. Biaya terkecil
c. MODI
2. Produksi pabrik A, B , C adalah sebagai berikut:
Pabrik Kapasitas produksi tiap bulan
A
B
C
150 ton
40 ton
80 ton
jumlah 270 ton

Gudang pabrik tersebut mempunyai kapasitas sebagai berikut:
Gudang Kebutuhan produksi tiap bulan
H
I
J
110 ton
70 ton
90 ton
jumlah 270 ton

Biaya untuk mendistribusikan barang dari pabrik ke gudang :

Dari Biaya tiap ton (Rp)
Ke Gudang H Ke Gudang I Ke Gudang J
Pabrik A 27000 23000 31000
Pabrik B 10000 45000 40000
Pabrik C 30000 54000 35000

a. Buat tabel awal transportasi
b. Selesaikan dengan metode biaya terkecil dan optimalkan dengan metode
MODI
c. Selesaikan dengan metode VAM BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
40
DAFTAR PUSTAKA
1. Hamdy Taha, Operation Research An Introduction, Edisi 4, Macmillan,
New York
2. Richard Bronson, Theory and Problem of Operation Research ,
McGraw-Hill, Singapore.
3. Subagyo Pangestu, Marwan Asri, dan T. Hani Handoko. Dasar-Dasar
Operation Research, Yogyakarta: PT. BPFE-Yogyakarta, 2000.
4. Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005
5. Yulian Zamit, Manajemen Kuantitatif, BPFE, Yogyakarta